Définition :
On dira que la série de fonctions \(S=\sum^{+\infty}_{n=0}f_n\) converge uniformément sur \(X\) si la convergence de cette suite de fonctions \(S_N=\sum^N_{n=0}f_n\longrightarrow S\) est uniforme sur \(X\)
(Convergence uniforme (suite de fonctions))
Pour étudier la convergence uniforme d'une série de fonctions, il s'agit de prouver que $$\varepsilon_N=\sup_{x\in X}\lvert R_N(x)\rvert=\sup_{x\in X}\left|S(x)-\sum^N_{n=0}f_n(x)\right|$$ est une suite qui tend vers \(0\)
(Borne supérieure)
Théorème d’échange des limites
Proposition :
On se donne une série \(S=\sum^{+\infty}_{n=0}f_n\) de fonctions \(f_n:X\to{\Bbb R}\)
On suppose \(X\subset{\Bbb R}\) et on se donne \(x_0\in X\)
Si chaque \(f_n\) est continue en \(x_0\) et que la convergence de \(S\) est uniforme au moins sur un voisinage de \(x_0\), alors la somme est également continue en \(x_0\)
(Continuité)
Théorème d'intégration des limites uniformes :
On se donne une série \(S=\sum^{+\infty}_{n=0}f_n\) de fonctions \(f_n:X\to{\Bbb R}\)
On suppose \(X=[a,b]\), les \(f_n\) continues (éventuellement par morceaux) et la convergence de \(S\) uniforme sur \([a,b]\)
Alors : $$\int^b_a\underbrace{\left(\sum^{+\infty}_{n=0}f_n(x)\right)}_{=f(x)}\,dx=\sum^{+\infty}_{n=0}\int^b_af_n(x)\,dx$$
Proposition :
On se donne une série \(g=\sum^{+\infty}_{n=0}g_n\) de fonctions \(g_n:I\to{\Bbb R}\) de classe \(\mathcal C^1\) (par morceaux)
On suppose que la série \(g(x_0)=\sum^{+\infty}_{n=0}g_n(x)\) converge et que la série \(f=\sum^{+\infty}_{n=0}g_n'(x)\) converge uniformément sur \(I\)
Alors la série \(g=\sum^{+\infty}_{n=0}g_n\) converge uniformément en \(I\) et sa somme définit une fonction \(f:I\to{\Bbb R}\) de classe \(\mathcal C^1\) (par morceaux) et on a $$g'=\sum^{+\infty}_{n=0}g'_n$$